trabajos de calculo

3.1 Limite de una sucesión

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.

3.2 Limite de una función de variable real

Se le llama función real de variable real a toda la función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

f:D————->R

x————->x2.

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:

1. El conjunto inicial o dominio de la función.

2. El conjunto final o imagen de la función.

3. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.

Así, por ejemplo, la función definida por:

f:R ——–>R

x———>x2.

Asigna a cada número real su cuadrado.

Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo:

lim(f)=R+.

La regla de asignación es: “Dado cualquier número real x, calcular su cuadrado para obtener la imagen”. El límite de una función de variable real es un concepto importante en el cálculo. Según este, si F es la función de una variable real r, en ese caso, el límite de F como r se aproxima a x existe, si existe otro número real R entonces para un número positivo conocido Descripción: http://mitecnologico.com/igestion/uploads/Main/cal12.jpg , existe otro número delta, tal que | F® - N | ‹ para todo r que satisfaga | r - x | < . Esto es,

y son letras de Grecia utilizadas tradicionalmente, a las cuales se les llama como descripción de límites épsilon-delta. Puede ser el caso cuando la función F satisface \ limita_{r\a\x} la definición en una sola dirección en la recta numérica real. Suponga que satisface la existencia de límites desde la izquierda. En ese caso, puede ser representada como este caso puede ser leído como ‘la existencia de límites del lado izquierdo’. Del mismo modo, los límites del lado derecho pueden ser demostrados como

Sin embargo, no se puede decir que el límite existe enteramente hasta que ambos límites de lado izquierdo y derecho persistan y se conviertan iguales.

Mientras se resuelve un problema “ límite de una función de variable real “ se debe hacer énfasis principalmente en el cálculo del rango del límite y no en identificar si el límite existe o no.

El límite de una función de variable real se puede definir en el infinito si la recta numérica es considerada extensible. Si F® es la función, entonces, el límite infinito de F se puede representar como que existen algunas propiedades que valen la pena considerar mientras se trata con el concepto de límite de la función de variable real F:

1). El límite de F se dice que existe cuando los límites del lado derecho y del lado izquierdo existen para la función correspondiente.

2). Se dice que F es continua en un punto particular A solo si en el caso el límite F( r ) como r se mueve hacia A subsiste y es equivalente a f(A).

3). Si el límite de la función F® como r se mueve hacia A es L1 y el límite de otra función H® como r se mueve hacia A es L2, entonces, el límite de F® + H® como se mueve hacia A es L1 + L2.

4). El límite de F debe ser compatible con las operaciones aritméticas con la condicionante que el límite del lado derecho exista.

La definición y sus propiedades pueden ser más profundamente ilustradas con la ayuda de un ejemplo. Consideremos una función

F® = La función puede ser simplificada como:

F® = (r + 2) (r - 2)

(r – 2)

F® = r + 2, r 2

Es decir la línea r + 2 con el punto ( 2, 4 ) son los puntos faltantes.

Se puede observar que r = 2 no se encuentra en el dominio de F y 4 no está en el rango correspondiente. Por lo cual, al poner r cerca del 2, obligará a F hasta el punto (2, 4). Esto es, de acuerdo a la definición, si un número real es dado, entonces se necesita encontrar otro número , tal que, < . Entonces, este puede ser probado como:

Si |r −2| <

2+ < r < 2 -

2 - + 2< r + 2 < 2 + + 2

4 - < r + 2 < 4 +

|(r + 2) - 4| <

3.3 Cálculo de limites

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto ha, entonces se suele cumplir que:

lim=f(a)

x->a

Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

No podemos limite de f raiz de x cuando x tiende a -2 calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2.

Todos nosotros hemos leído en las matemáticas básicas que si el valor del denominador es cero, entonces obtendremos un valor indefinido como producto. Pero en el caso del cálculo, podemos obtener una solución aunque el valor del denominador sea cero.

Para entender el concepto, mire el ejemplo dado a continuación, f(x) = x3/ x

Si lo resolvemos tenemos f(x) = x2 como respuesta. El gráfico de esta función es una parábola, como se muestra debajo, ahora bien, si x alcanza el valor de cero en algún punto entonces tenemos una salida indefinida.Utilizando el cálculo obtenemos el valor de la ecuación para un valor algo más grande y para un valor algo menor que cero. Este es el concepto detrás de los límites.

El concepto de límite es que al llegar más y más cerca de un valor específico de x, el valor de la función también comienza a resolverse en torno a un valor específico. De este modo podemos calcular el valor de la función para algunos valores que están muy cerca de cero.

Esto proporcionará un resultado de valor aproximado para la función dada y por tanto no obtendremos un valor indefinido como valor de salida de la función. Para el ejemplo ilustrado arriba tendríamos cero como salida si el valor del denominador es casi igual a cero. Esto es debido a que el valor de salida de la función se aproxima al valor de cero a medida que el valor de entrada de la función llega a cero. Se puede observar claramente en el gráfico de la función.

Sin embargo no siempre es el caso que tanto el valor de entrada como el valor salida de la función alcancen el mismo valor. El cálculo ayuda en la determinación de la salida de una función no habiéndose dado un valor indeterminado de la función como salida. Esto hace el concepto de límite distinto de simple álgebra.

No es esencial que el valor de la función sea indefinido solamente para cero. Funciones diferentes tienen valores de entrada diferentes para los cuales la función es indefinida. Por lo tanto el límite puede ser leído “se define límite como la entrada tiende a una variable que hace la función salida indefinida”.

Existen otras propiedades importantes también que sin embargo no podemos abordar aquí.

Veamos ahora un ejemplo:

limx2 (3×2 – 4x + 5)

= limx2 (3×2) - limx2 (4x) + limx2 (5)

= 3limx2 (x2) - 4limx2 (x) + limx2 (5)

= 3(2)2- 4(2) + 5

= 12 – 8 + 5

= 9

3.4 Propiedades de los limites

3.5 Limites laterales

El límte lateral por la derecha de una función y = f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores mayores que a .

El límite lateral por la izquierda de una función y=f(x) en el punto x = a es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima al valor de a por valores menores que a .

EJEMPLO:

SUBTEMA: 3.6 Límites infinitos y límites al infinito.

Si una variable independiente x está creciendo indefinidamente através de valores positivos se escribe , y si decrece a través de valores negativos se denota como .

o Similarmente cuando una funcion f(x) crece indefinidamente y toma valores positivos cada vez mayores, es escribe ƒ(x)→ + ∞ y si decrece tomando valores negativos se escribe ƒ(x)→ – ∞.

3.7 Asintotas

Una línea recta que se aproxima continuamente a otra función o curva, que la distancia entre las 2 tiende a 0 a medida que se extiende indefinidamente.

También se puede decir que es la curva la que se aproxima a la recta, o que en ambas presentan un comportamiento asintótico.

Asíntota Vertical (AV)

La recta x=a es asíntota vertical de f(x) si limx->a+

f(x) = inf o limx->a- f(x) = inf.

Asíntota Horizontal (AH)

La recta y=b es asíntota horizontal de f(x) si limx->inf

f(x) = b.

Un ejemplo que podemos tener es:

f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inf

limx->1- f(x) = -inf=> x=1 es AV de f(x)

limx->inf f(x) = 1

=> y=1 es AH de f(x)

3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo

Funciones continuas: Una función es continua en un punto si existe límite en él

y coincide con el valor que toma la función en ese punto. Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfica es continua, en el sentido que se puede dibujar sin

levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función en un punto.

Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. Que el punto x= a tenga imagen.

2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.

3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la

función en el punto. Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que

es discontinua en dicho punto.

Una función es continua por la derecha en un punto si

existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la

función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si

existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la

función en ese punto.

Discontinuidades

1.- Una función es discontinua en un punto cuando no existe

límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo.

2.- Una función tiene una discontinuidad evitable en un

punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el

mismo.El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera

continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

3.- Una función tiene una discontinuidad inevitable.

3.9 Tipos de discontinuidad.

Discontinuidad evitable

Si una función tiene límite en un punto, pero la función en

ese punto tiene un valor distinto:

o no existe:

se dice que la discontinuidad es evitable, asignando a la función,

en ese punto, el valor del límite:

Discontinuidad esencial o no evitable

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

1. Existen los límites laterales pero no coinciden.

2. Alguno de los límites laterales o ambos son infinitos.

3. No existe alguno de los límites laterales o ambos.

Discontinuidad de segunda especie

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

UNIDAD 4: DERIVADAS

4.1 Concepto de incremento y razón de cambio. La derivada de una función.

Conceptos de crecimiento y tasa de cambio, derivada de una función

La derivada de una función es un vector que apunta hacia la dirección donde la función ve un mayor incremento en su valor.

A la luz de la afirmación anterior se puede concluir que la derivada de la función es generalmente cero en algunos mínimos locales o máximos locales dado que en esa posición la función no notaincrementos hacia una dirección en particular.

En algunos lugares la palabra gradiente también se usa para denotar la derivada de la función.

Sin embargo, esta palabra es más apropiada para la derivada de la función de un vector o para una función con múltiples variables.

El símbolo griego delta, representado como un triángulo es utilizado para mostrar el cambio en el valor de una variable. y significaría un cambio en el valor de y.

La pendiente de una línea recta se puede calcular como

La expresión anterior se denomina como cociente de la diferencia. Esto se debe a que representa la diferencia entre dos cocientes.

La tasa o razón de cambio puede ser constante o no. Una tasa de cambio constante es aquella que no cambia durante un período de tiempo.

Supongamos que la tasa de cambio del número de migrantes de los años 1978 a 1988 es 2.16 mientras que es de 6.9 desde el año 1988 a 2008.

Así podemos notar que en el ejemplo anterior la tasa de cambio no es constante. En tal situación se puede calcular una tasa de cambio promedio en un intervalo.

Una fórmula general para representar una tasa de cambio promedio en un intervalo sería,

Aquí y es una función en términos de t, representando la ecuación y = f (t). El intervalo es considerado entre t = a y t = b.

Si la tasa de cambio es constante durante todos los intervalos, entonces tal función es llamada función lineal.

Si la tasa de cambio de una función se calcula sobre un tipo de intervalo o en un punto específico, entonces la llamamos tasa de cambio instantánea.

La tasa de cambio de una función g en un punto x, llamada la razón o tasa instantánea de cambio en x es el límite de la tasa promedio de variación de g a lo largo de intervalos cada vez más pequeños alrededor de x.

Como sabemos la variación en la tasa es un cociente de la diferencia, la tasa instantánea de cambio será el límite de esos cocientes.

La tasa de cambio instantánea es popularmente conocida por el nombre de derivada.

No es posible calcular la derivada de una función en algún instante determinado, por tanto la derivada de una función se calcula sobre un intervalo, aunque este intervalo sea muy pequeño.

Entonces el cálculo de la derivada de una función también se puede hacer mediante el cálculo de la tasa promedio de cambio en intervalos más cortos.

Considere a el tamaño del intervalo, entonces la tasa promedio de variación en el intervalo x + a y x será,

f(x + h) – f(x)/ (x + h) – x que puede ser escrito como, f(x + h) – f(x)/ h

Ahora bien, para determinar el valor exacto de la derivada, tome el límite de la función como h. Por lo cual la derivada de la función se calcula como,

Lim f(x + h) – f(x)/ h h → 0

Ejemplo:

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

La derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje $x\,$ de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto. Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función. La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica. Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma.

La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.

A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así

,

En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto

Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.

La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0)) será,

Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,

Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.

Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero.

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la curva y la recta tangente pueden simplemente compartir este punto en común.

Siempre existen regiones cerca del punto de tangencia donde la recta de tangencia deja la curva en una mitad donde se separa del plano. Sin embargo, la pendiente de la tangente o la derivada de la función es simplemente una estimación lineal de la curva en un punto.

4.3 Concepto de diferencia, interpretación geométrica de los diferenciales.

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y´ =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento $\Delta x \,$ que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por $x \,$ y $\Delta x \,$ .

En cálculo, la diferencial representa un cambio en la linealización de una función.

En los enfoques tradicionales para el cálculo, las diferenciales (Por ejemplo, dx, dy, dt etc ..) se interpretan como infinitesimales. A pesar de los infinitesimales son difíciles de dar una definición precisa, hay varias maneras de hacer sentido de ellos rigurosamente.

La diferencial es otro nombre para el Matriz Jacobiana de derivadas parciales de una función de Rn a Rm (Especialmente cuando este matriz es visto como un lineal).

De manera más general, el diferencial o pushforward se refiere a la derivada de un mapa entre variedades diferenciables y las operaciones pushforward lo define. La diferencia también se utiliza para definir el concepto dual de retroceso.

Cálculo estocástico proporciona una noción de diferencial estocástica y un cálculo correspondientes para procesos estocásticos.

El integrador en un Integral de Stieltjes se representa como el diferencial de una función. Formalmente, la diferencia de que aparecen en la integral se comporta exactamente como un diferencial: así, la integración por sustitución y integración por partes fórmulas para la integral de Stieltjes corresponden, respectivamente, a la regla de la cadena y producto de la regla de la diferencia.

Geometria Diferencial

La noción de una diferencial que motiva a varios conceptos en geometría diferencial (Y topología diferencial).

Formas diferenciales proporcionan un marco que da cabida a la multiplicación y diferenciación de las diferencias.

La derivada exterior es una noción de la diferenciación de las formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (que es un 1-forma diferencial).

Retroceso es, en particular, un nombre geométricas para la regla de la cadena para componer un mapa entre los colectores con una forma diferencial en el objetivo múltiple.

Covariante derivados o las diferencias proporcionar una idea general para la diferenciación de campos vectoriales y campos tensoriales en una variedad, o, más generalmente secciones, de un fibrado vectorial: Véase Conexión (fibrado vectorial). En última instancia, conduce al concepto general de una conexión.

La Interpretación Geométrica de la Derivada

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía.

Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto.

Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.

La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.

Supongamos que una función f(x) = x².

La gráfica de la función luciría de la siguiente forma

Ejemplos:

4.4 Propiedades de la derivada.

Propiedades de las Derivadas

Las derivadas forman una parte importante del cálculo.

Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.

En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.

Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x⁴)/dx = 5[d(x⁴)/dx]

= 5(4x⁴−1)

= 5(4x³)

= 204x³

Ejemplos:

4.5 Regla de la cadena.

La Regla de la Cadena

Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.

Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.

h(x) = f(x) 0 g(x)

Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x² + 4x +5)

Sería bastante fácil de encontrar.

Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x³ + 4x +5)⁶⁰ entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.

Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, entonces la función compuesta definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m]' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así,

Ejemplos:

.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación.

Fórmulas de Derivación y Fórmulas de Diferenciación.

Para funciones más simples, el trabajo de calcular la derivada de una función se puede realizar simplemente usando la definición de derivada. Pero si se da una función compleja, ahora es que vale la pena utilizar la definición de la derivada para el cálculo de las derivadas de la función, dado que si no lo hacemos requeriría muchos cálculos. Con el fin de reducir los cálculos involucrados en el proceso se han introducido una serie de fórmulas de diferenciación.

Junto con las fórmulas se han introducido una serie de propiedades que pueden ser usadas directamente. Algunas fórmulas de diferenciación importantes son,

Formulas de Derivación I dc = 0 La derivada de una constante es cero II dx = 1 La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad. III d ( u + v – w ) = du + dv - dw La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones IV d ( cv ) =c. dv La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion V d (uv) = u dv + v du La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera. VI d (un) = nun-1 du La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion. VIa d (xn ) = nxn - 1 Cuando v = x se convierte en la expresion anterior VII d ( uv ) = v.du - u.dv. v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador VIIa d ( u/c ) = du/ c La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante

Ejemplos:

4.7 Derivadas de orden superior, regla de L´Hopital

Derivadas de Orden Superior y Regla de L’Hôspital

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.

Ejemplos:

4.8 Derivadas de funciones implícitas.

Derivada de las Funciones Implícitas

Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.

Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.

Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.

Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.

La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.

Mientras se hace esto, es esencial tener en mente que la variable dependiente de la función debe ser tratada como la variable independiente de la función; y sencillamente aplicar las reglas de diferenciación normal incluyendo todas las propiedades y las reglas de diferenciación.

Ejemplos: