5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. curva ortogonales

                Recta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x² - 5x + 6 paralela a la recta

y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3

f'(a) = 2a – 5        2a − 5 = −3    a = 1

El punto de tangencia es P(1, 2)    La recta tangente es     y − 2= -3 (x − 1)   

Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x² + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).

La pendiente de la recta dada es m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1         a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:         y − 1 = x             y = x +1

Recta normal:            y − 1 = −x             y = −x + 1

Curvas ortogonales

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

Diferentes soluciones se pueden utilizar para encontrar la ecuación de la tangente de cualquier curva y = g(x) en los puntos x1, y1. La pendiente de la tangente a la curva y = g(x) en los puntos x1, y1 está dada por g‘(x1),es decir, el valor de la primera derivada de la función en x1, y1.

La ecuación requerida para esta tangente se puede encontrar en la ecuación de la recta y-y1 = m (x - x1).

5.2.- TEOREMA DE ROLLE TEOREMA DE LAGRANGE O TEOREMA DEL VALOR MEDIO.

Geométricamente, este teorema expresa la existencia de un punto c de (a, b) tal que la recta
tangente en (c, f(c)) es paralela al eje OX

Por ser f(x) continua en el intervalo cerrado [a, b], la función alcanza un máximo y mínimo
(teorema de Weierstrass). De este hecho se obtienen tres posibilidades, tal como se indica en
las siguientes figuras:

Si el valor máximo o mínimo se presenta en un punto c de (a, b), entonces por el teorema de la
derivada en un punto máximo, f´(c) = 0
Si los valores máximo y mínimo se presentan ambos en los extremos, entonces son iguales, ya
que f(a) = f(b), luego la función f(x) es constante.

Por tanto, para todo punto c de (a, b), f´(c) = 0

TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL O

TEOREMA DE LAGRANGE

Expresión que recibe el nombre de fórmula de incrementos finitos.

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que si la gráfica de una
función continua tiene tangente en todo punto del arco AB, entonces hay por lo menos un punto
C en el que la tangente es paralela a la secante AB.

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).

Ejemplo

   

¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = x³ en [−1, 2]?

   

f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:

La interpretación geométrica del teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.

El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de Lagrange, en el que f(a) = f(b).

5.3 función creciente y decreciente, máximos y mínimos de una función, criterio de la primera derivada

Crecimiento y decrecimiento

Decimos que una función f(x) es creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 yx2 tal que x1<x2 entonces f(x1)⩽f(x2).

Decimos que una función f(x) es decreciente en intervalo [a,b] ssi dados dos puntos de [a,b], x1y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)⩾f(x2).

Decimos que una función f(x) es estrictamente creciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)<f(x2).

Decimos que una función f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo [a,b] si dados dos puntos de [a,b], x1 y x2 tal que x1<x2 entonces f(x1)>f(x2).

Ejemplo

Todas las funciones del tipo f(x)=ax+b cuando a>0 son funciones crecientes, y en particular, son funciones estrictamente crecientes. No obstante, cuando tomemos a<0 obtendremos funciones estrictamente decrecientes (y por consiguiente decrecientes).

Ejemplo

La función f(x)=x2 es una función decreciente en el intervalo (−∞,0] y creciente en [0,+∞).

Ejemplo

Las funciones constantes son funciones que a la vez son crecientes y decrecientes (se mantienen constantes).

Máximos y mínimos

Cuando representamos una función podemos ver que a veces aparecen puntos que son máximos o mínimos relativos o globales.

Como podemos ver en el siguiente ejemplo, podemos observar que en x=0 la función f(x)=x2tiene un mínimo:

Definamos pues correctamente el concepto de mínimo y máximo relativo y global:

• Un punto x0 se denomina máximo global si para todo punto x del dominio, la función comple f(x)⩽f(x0).
• Un punto x0 se denomina mínimo global si para todo punto x del dominio, la función comple f(x)⩾f(x0).

criterio de la primera derivada

f(x)=x3−3x.

Empezaremos derivando la función y igualandola a cero. Resolveremos la ecuación y nos quedaremos con los puntos solución.

f′(x)=3x2−3⇒3x2−3=0⇒x2=1⇒x=±1

Ahora sabemos que en los puntos 1 y −1 tenemos máximos o mínimos. Vamos a ver qué son usando la segunda derivada: f′′(x)=6x:

f′′(1)=6>0

f′′(−1)=−6<0

y por lo tanto, en x=−1 tenemos máximo y en x=1 tenemos un mínimo.

Veamos el gráfico para ver claramente el ejemplo:

5.4.-Analisis de la variacion de funciones

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso.

Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la y Ejes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito.

Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes

La variación Acotada de una función determinada en el intervalo [x, y] puede ser establecida como

Donde S es el conjunto acotado:

La variación resulta ser infinita si el conjunto no es acotado. El supremo de S puede ser llamado también como Variación Total o sólo la variación de f y se denota como V (f; x, y) o simplemente V (x). Existen ciertos teoremas que pueden ser útiles para el análisis de la variación de la función: 

1). Si en el conjunto [x, y], la función está incrementando, en ese caso, es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y consecuentemente V [g [x, y]] = g(y) – g(x).

2). Si en el conjunto [x, y] la función es constante, entonces es la función de variación acotada en el conjunto [x, y] y entonces V [g [x, y]] = 0. 

Por ejemplo, la función g(r) = c es una función de variación acotada constante en el intervalo [x, y]. 

| g (r_i) – g (r_i - 1)| = 0 por cada partición del conjunto [a, b]. Por tanto, V (g, [x, y]) = 0.

3) En el conjunto [x, y] si, g y f son las funciones de variación acotada y c es constante, en ese caso

a). g es una función de variación acotada en el intervalo [x, y].

b). g es una función de variación acotada en cada subintervalo cerrado del intervalo [x, y].

c). cg es también una función BV en el conjunto [x, y].

d). g + f y g –f son BV en el conjunto [x, y]

e). gf es también BV en el conjunto [x, y].

Algunos datos más útiles acerca de estas funciones especiales se pueden establecer como que una función de variación acotada se puede expresar también por la divergencia de 2 funciones crecientes.

Del mismo modo, todas las funciones totalmente continuas son de naturaleza BV, sin embargo, no es necesario que todas las funciones continuas BV deban ser totalmente continuas.

La función f puede ser considerada como BV en el conjunto [x, y] si, la derivada de f se encuentra acotada en [x, y].

 Además, cuando dos funciones variación acotada se multiplican entre sí, entonces la resultante es también una función de variación acotada.

Hay algunas propiedades básicas que son seguidas por las Funciones de Variación Acotada:

1) Las Funciones de Variación Acotada pueden tener discontinuidad de primer tipo, es decir, discontinuidad de salto.

 5.5.-Calculo de aproximaciones usando la diferencial.

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto.

La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos.

En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.

En cálculo, la diferencial representa la parte principal del cambio en una función y = ƒ(x) con respecto a los cambios en la variable independiente. La misma diferencia se define por una expresión de la forma 

dy = {dy}{dx}\dx 

como si el derivados dy/dx representa el cociente de una cantidad dy por una cantidad dx. También se escribe 

df(x) = f’(x)dx.

El significado preciso de tales expresiones depende del contexto de la aplicación y el nivel requerido de rigor matemático. En los tratamientos modernos matemáticos rigurosos, las cantidades dy y dx son simplemente más real variables que puede ser manipulado como tal. El dominio de estas variables pueden tener un significado geométrico particular, si el diferencial se considera un particular forma diferencial, o la importancia de análisis, si el diferencial se considera como una aproximación lineal al incremento de una función. En las aplicaciones físicas, las variables dx y dy a menudo, deben ser muy pequeñas (“infinitesimal”).

El diferencial fue introducido por primera vez a través de definiciones intuitivas o heurístico Gottfried Wilhelm Leibniz, que pensaba de la diferencia dy como lo infinitamente pequeño (o infinitesimal) cambio en el valor y de la función, que corresponde a un cambio infinitamente pequeño dx en el argumento de la función x. Por esa razón, la razón instantánea de cambio de y con respecto a x, que es el valor de la derivados de la función, se denota por la fracción 

{dy}{dx}

en lo que se llama el Leibniz notación para los derivados. El cociente dy/dx es, por supuesto, no lo infinitamente pequeño, sino que es un número real. 

El uso de los infinitesimales en esta forma fue muy criticado, por ejemplo, el famoso panfleto “El Analista” por el obispo Berkeley. Augustin-Louis Cauchy (1823) se define la diferencia, sin apelar a la teoría atómica de los infinitesimales de Leibniz. En cambio, Cauchy, tras D’Alembert, se invierte el orden lógico de Leibniz y sus sucesores: el derivado de sí mismo se convirtió en el objeto fundamental, que se define como un límite de los cocientes de diferencia, y los diferenciales se definieron a continuación, en términos de la misma. Es decir, uno era libre de definir el diferencial dy por una expresión 

dy = f’(x)dx 

5.6.-Problemas de optimizacion y de tasas relacionadas

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea.

Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función.

Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc.

La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta.

Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrarlos valores mínimos o máximos locales.

Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo.

Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local.

El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente.

Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función.

En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

 Ejemplos:

Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada contra una pared vertical la base de la escalera se jala horizontalmente alejándola dela pared a 3 pies suponga que sea determinar que tan rápido se desliza hacia abajo la parte superior de la escalera sobre la pared cuando su base se encuentra a15 pies de la pared.

Paso1primero defina la variable comenzando con t

T; el numero de segundos del tiempo ha transcurrido desde que la escalera comenzó deslizarse hacia abajo sobre la pared.

X; el numero de pies de ladistancia desde la base de la escalera a la pared a los t segundos

Y; el numero de pies de la distancia desde el piso a la parte superior de la escalera a los t segundos.

Paso2 escribacualquier hecho numérico acerca de x, y y sus derivadas con respecto a t.

Como la base de la escalera es jalada horizontalmente jalada de la pared a 3 pies/s,dx/dt =3

Paso3 escriba lo que desea determinar.

Se desea determinar dy/dt cuando x =15

Paso4escriba una ecuación que se realice a xy y. del teorema de Pitágoras.

Y2 = 625 – x2

Paso5 derive los dos miembros de(1) con respecto a t

2y dy/dt = -2x dx/dt

dy/dt = -x/y = dx/dt...