trabajos de calculo

UNIDAD 2: Funciones

2.1 CONCEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CODOMINIO, Y RECORRIDO DE UNA FUNCION.

Variable:

En matemáticas y en lógica, una variable es un símbolo constituyente de un predicado, fórmula, algoritmo o de una proposición.

Variable independiente: Son valores que no dependen de otros, están en el eje x.

Variable dependiente: Su valor depende de otras variables, se encuentran en el eje y.

Variable cuantitativa: Estas se representan por medio de un número y se clasifican en dos:

a) variable continua: su valor lo adquiere de dos números existentes.

El peso de 4 personas: 85.45, 65.23, 70.12, 50.34

La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.

En la práctica medimos el peso con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

b) variable discreta: su valor lo obtiene fuera del valor de dos números existentes.

El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

EJEMPLOS:

Función:

En matematicas, una funcion (f) es una relacion entre un conjunto dado x (llamado dominio) y oro conjuto de elementos Y (llamados codominio) de forma que cada elemento X del dominio le corresponde un unico elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, tambien llamado rango o ambito).

EJEMPLOS:

Dominio:

Se llama dominio de difinicionde una funcion (f), y se designa por dom f, al conjunto de valores de X para los cuales existe una funcion, es decir, para los cuales podemos calcular y=f(x). se dice que el diminio de una funcion son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjuto llamado codominio.

EJEMPLOS:

CODOMINIO:

tambien llamado rango de la funion, imagen o recorrido, este conjunto son los valores que puede tomar la funcion; son todos los valores de las Y. Una funcion consiste, entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relacion entre dos variables "X" y "Y" es una en la que para cada valor de Y hay exactamente un valor de X, se dice que Y es una funcion de X.

EJEMPLOS:

RECORRIDO DE UNA FUNCION:

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "y" variable dependiente, por eso se denomina f(x), su valor depende del valor que le demos a "x". Graficamente lo miramos en el eje OY de ordenadas, leyendo de abajo a arriba.

EJEMPLOS:

TEMA: 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

FUNCIÓN INYECTIVA: significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

FUNCIÓN SOBREYECTIVA: significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

FUNCIÓN BIYECTIVA: significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

2.3 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACION GRAFICA.

Se llama función real de una variable real a cualquier aplicación f : D −→ R, D ⊂ R, que hacecorresponder a cada x ∈ D uno y s´olo un valor f(x) ∈ R. La función se suele representar por y = f(x)donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente.Si f(x) = y, se suele decir que y es la imagen de x por la función f, o que x es un origen dey. La representación en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x, y) se llama gráfica dela función f.

Para que una función quede bien definida es necesario determinar:

-El conjunto inicial o dominio de la función

-El codomino o imagen de la función

- La regla por la cual a cada elemento de un conjunto dominio se le asigna un único elemento del conjunto imagen.

REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

Se llama gráfica de una función al conjunto de puntos en el plano que verifican la formula que define la función. La abscisa de los puntos corresponde a la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente.

La grafica de una funcion esta formado por todos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece el dominio de f.

Ejemplo de graficas de 8 funciones basicas:

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.

Función polinomial:

Una función polinomial es una función en que f(x) es un polinomio en x.

Una función polinomial de grado n es escrita como

Las funciones polinomiales están definidas y son continuas en todos los números reales.

Función racional:

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:

Función irracional:

Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable dependiente

x aparece debajo del símbolo de raíz.

En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo

f(x)=g(x)−−−−√n

con g(x) una función racional.

Si el índice n de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número real, siempre y cuando la expresión g(x) sea un número real, es decir, Dom(f)=Dom(g). Si el índice n de la raíz es par, para poder calcular imágenes necesitamos que g(x) sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números reales. Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuación g(x)≥0. En otras palabras, Dom(f)={x∈R∣g(x)≥0}. Estudiemos ahora el caso más simple de función irracional: la función raíz cuadrada f(x)=x√. Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto de soluciones de la inecuación x≥0. Así tenemos Dom(f)=[0,+∞) La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero,

Im(f)=[0,+∞)

EJEMPLOS:

2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.

Funciones algebraicas

Si una funcion puede construirce operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicacion y sacar raices) se llama funcion algebraica.cualquier funcion racional es una funcion algebraica.

Cuando tacen funciones algebraicas, veran que sus gaficas adoptan diversas formas:

Funcion polinomial:

Definicion: a una funcion P se llama polinomio si:

p(x) =anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0

^{Donde n
es un numero entero no negativo y los numeros a0, a1, a2...an son constantes
que se conocen como coeficiente del polinomio. El dominio de cualquier
polinomio es menos infinito a mas infinito.}

2.6 Función definida por mas de una regla de correspondencia, función valor absoluto

Función a trozos es el nombre de una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f(x)=x⟶y es una función llamada función a trozos, si puede ser definida con ayuda de diferentes funciones lineales.

La gráfica de esta función también es definida por trozos, dependiendo el numero de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

La función es llama así porque para definir esta función cambia según el valor de la variable de entrada.

La función de valor absoluto se transforma en función a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con el resultado de las raíces
Después definimos la función a trozos, tomando en cuenta que los intervalos en donde la x es negativa se le cambia el signo de la función.
· Representamos la función.

EJEMPLOS:

2.7 operaciones con funciones: condición,multiplicacion,composicion.

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa porf + g.

ejemplo:

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,
g(x) = x2 + 2 y,
f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

Multiplicación:

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:

[f(x)] [g(x)]

ejemplo:

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y

, f(x) = √x

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

Composición:

Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

La composición de dos funciones se denota como:

ejemplo,

g(x) = 2x + 3

f(x) = -x2 + 5

g(f(x)) = g(-x2 + 5)

= 2(-x2 + 5) + 3

= −2×2 + 10 + 3

= −2×2 + 13

2.8 función inversa logarítmica y trigonométricas inversas.

Función inversa:

Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica

de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal

manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del

punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera

curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz

del ángulo XOY

Función logarítmica:

Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: log10 x Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. y=a^x y y=loga x

Funciones trigonométricas inversas:

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y= sen x, y es igual al seno de x, la función inversa x= arc sen y, es el arco

cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

2.9 funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.

Una secuencia infinita puede ser definida como un conjunto ordenado o una lista de elementos distintos que pueden ser formados como pares teniendo correspondencia uno a uno respecto al conjunto entero positivo. Los elementos son por lo general números. Un conjunto de números naturales es un buen ejemplo de sucesión infinita, N = {0, 1, 2, 3, 4…}.

En términos de la notación matemática, una secuencia puede ser definida como una función sobre F U {0} ya que la función g (x) tiene una asociación uno a uno de F en F U {0}.

La secuencia infinita forma una parte importante de los estudios de la ingeniería y la física moderna. Una secuencia infinita puede estar creciendo, decreciendo, o ser de origen monótona. Una sucesión creciente es aquella donde todos los elementos subsecuentes de la secuencia son mayores que el elemento que estaba ocurriendo antes que ellos en la secuencia, esto es an+1 > an para todos los valores de n.

Una secuencia decreciente infinita es opuesta a la sucesión creciente infinita lo que significa que en el caso de una secuencia decreciente infinita el elemento subsecuente de la secuencia es más pequeño que el elemento que estaba ocurriendo antes que este en la secuencia, esto es un an+1 < an para todos los valores de n.

Mientras que una secuencia infinita monótona puede ser una que esté creciendo o decreciendo.

Otra categoría en la que una secuencia puede ser clasificada está basada en los límites de la secuencia, si estos se encuentran por encima o por debajo. Si existe un número M para el cual an <= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por encima. Mientras que si an >= M, para todos los valores de n, entonces tal secuencia está limitada por debajo.

También es posible añadir prefijos al nombre de la secuencia basados en los elementos de la secuencia. Si todos los elementos de la secuencia son números enteros, entonces la llamamos secuencia de números enteros. Mientras que si todos los elementos de la secuencia son polinomios la llamamos una secuencia de polinomios y así sucesivamente.

También existen dos vías de secuencias infinitas o secuencia infinita-bi, la cual es una función del conjunto de todos los enteros en otro conjunto.

Supongamos una función f: {1, 2, 3, 4…} à {1, 2, 3, 4…} define una secuencia A donde cada ai = f(i). Tal secuencia se denominaría multiplicativa cuando,

f(xy) = f(x) f(y), para todos los valores de x e y, donde x e y son co-primos.

Una serie es la sumatoria de la suma de todos los elementos de una secuencia. La suma de todos los elementos de una secuencia infinita se denomina serie infinita.